integral (kalkulus)

Integral

Pengertian Integral

Integral merupakan bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan (invers) dari operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu. Berdasarkan pengertian tersebut ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Pertama, integral sebagai invers/ kebalikan dari turunan disebut sebagai Integral Tak Tentu. Kedua, integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu disebut integral tentu.

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu yang seperti sebelumnya dijelaskan adalah merupakan sebuah invers atau kebalikan dari turunan. Yang mana, apabila sebuah turunan dari suatu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan sebuah fungsi itu sendiri. Contoh perhatikanlah turunan-turunan dalam fungsi aljabar dibawah berikut ini:

  1. Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x3 ialah yI = 3x2
  2. Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x3 + 8 ialah yI = 3x2
  3. Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x3 + 17 ialah yI = 3x2
  4. Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x3 – 6 ialah yI = 3x2

Didalam sebuah materi turunan, variabel dalam suatu fungsi akan mengalami penurunan pangkat.

Seperti yang sudah dipelajari dalam materi turunan, variabel dalam suatu fungsi mengalami penurunan pangkat. Berdasarkan contoh tersebut, diketahui bahwa ada banyak fungsi yang memiliki hasil turunan yang sama yaitu y= 3x2. Fungsi dari variabel x3 ataupun fungsi dari variabel x3 yang ditambah atau dikurang suatu bilangan (misal contoh: +8, +17, atau -6) memiliki turunan yang sama. Jika turunan tersebut dintegralkan, seharusnya adalah menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan. Namun, dalam kasus tidak diketahui fungsi awal dari suatu turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut dapat ditulis:

f(x) = y = x3 + C

Dengan nilai C bisa berapapun. Notasi C ini disebut sebagai konstanta integral. Integral tak tentu dari suatu fungsi dinotasikan sebagaI berikut

\int f(x) dx

ada notasi tersebut dapat dibaca integral terhadap x”. notasi  disebut integran. Secara umum integral dari fungsi f(x) adalah penjumlahan F(x) dengan C atau:

latex

Karena integral dan turunan berkaitan, maka rumus integral dapat diperoleh dari rumusan penurunan. Jika turunan:

\frac{d}{dx}\frac{a}{(n+1)}x^{(n+1)} = ax^n

Maka rumus integral aljabar diperoleh:

\int ax^n dx = \frac{a}{(n+1)}x^{n+1} + C

dengan syarat n \neq 1.

Sebagai contoh lihatlah integral aljabar fungsi-fungsi berikut:

  • \int 4x^3dx=\frac{4}{(3+1)}x^{(3+1)}+ C = x^4 + C
  • \int \frac{1}{x^3}dx = \int x^{-3} dx = \frac{1}{(-3+1)}x^{-3+1}+C
    = -\frac{1}{2}x^{-2}+C = -\frac{1}{2x^2}+C
  • \int 4x^3 - 3x^2 dx = \frac{4}{(3+1)} x^{(3+1)} + \frac{3}{(2+1)}x^{(2+1)}+C
    = x^4+x^3+C

Integral Trigonometri

Integral juga bisa dioperasikan pada fungsi trigonometri. Pengoperasian integral trigonometri juga dilakukan dengan konsep yang sama pada pada integral aljabar yaitu kebalikan dari penurunan. Sehingga dapat simpulkan bahwa:

No. Fungsi f(x) = y Turunan \frac{dy}{dx} Integral
1 y = sin x cos x  \int \cos x dx= sin x
2 y = cos x – sin x \int \sin x dx = – cos x
3 y = tan x sec2 x \int \sec^2 x dx = tan x
4 y = cot x – csc2 x \int \csc^2 x dx = – cot x
5 y = sec x tan x . sec x \int \tan x . \sec x d = sec x
6 y = csc x -.cot x . csc x \int \cot x . \csc x dx = – csc x

Selain rumus dasar diatas, ada rumus lain yang bisa digunakan pada pengoperasian integral trigonometri yaitu:

Fungsi f(x) = y Turunan \frac{dy}{dx} Integral
y = \frac{1}{a} \sin(ax+b) cos (ax + b) \int \cos (ax+b) dx = \frac{1}{a} sin (ax + b) + C
 y = - \frac{1}{a} \cos (ax + b) sin (ax + b) \int \sin (ax+b) dx = -\frac{1}{a} cos (ax + b) + C
y = \frac{1}{a} tan (ax + b) sec2 (ax + b)  \int \sec^2(ax+b)dx\frac{1}{a} tan (ax + b) + C
y = -\frac{1}{a} cot (ax + b) csc2 (ax + b) \int \csc^2(ax+b) dx = - \frac{1}{a} cot (ax + b)
y = -\frac{1}{a} sec (ax + b) tan (ax + b) . sec (ax + b) \int (ax+b) . sec(ax + b) dx= \frac{1}{a} sec (ax + b) + C
y = -\frac{1}{a} csc (ax + b) cot (ax + b) . csc (ax + b) \int cot (ax + b) . csc (ax + b) dx = -\frac{1}{a}
 csc (ax + b)

Sifat-sifat dari integral yaitu:

  • \int k. f(x) dx=k.\int f(x)dx                         (dengan k adalah konstanta)
  • \int f(x)+g(x)dx =\int(x)dx+\int g(x) dx
  • \int f(x) - g(x)dx = \int f(x)dx-\int g(x) dx

 

SOAL  INTEGRAL

1). IMG-8244 (1)

2)Image result for integral x sin (x^2+1)dx

 

3).IMG-8245

 

4). IMG-8246

 

 

5).97f8b074-3900-4932-8e97-693b1d91714d

 

6).Image result for integral x sin (x^2+1)dx

 

7).IMG-8244 (1)

 

8).3b52104d-e9c8-459d-90bc-d3975b97ebbd

 

9).3b52104d-e9c8-459d-90bc-d3975b97ebbd (1)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *


*

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>